自适应学习率优化器

在深度学习和机器学习的模型训练过程中，优化算法起着至关重要的作用。除了标准的梯度下降和动量优化器之外，还有许多自适应学习率的优化算法，如 Adagrad、Adadelta 和 RMSProp。它们通过自适应地调整学习率，以提升收敛速度和稳定性。

以下将详细介绍这三个优化算法，包括公式、原理，以及 Python 代码实现。

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Adagrad 算法

背景与动机

在标准的梯度下降过程中，学习率 $\eta$ 是一个全局的超参数，对所有参数 $\theta$ 都保持不变。在某些情况下，不同参数的特性可能差异很大，使用相同的学习率可能导致收敛效果不佳。

Adagrad（Adaptive Gradient Algorithm）算法通过为每个参数引入不同的自适应学习率，根据历史梯度信息动态调整参数的更新步长，特别适合处理稀疏数据和高维特征。

数学公式

Adagrad 的参数更新规则：

对于每个参数 $\theta_i$，有：

1. 累积历史梯度的平方和：

$$G_{t,i} = G_{t-1,i} + [\nabla_{\theta_i} J(\theta_t)]^2$$

2. 更新参数：

$$\theta_{t+1,i} = \theta_{t,i} - \frac{\eta}{\sqrt{G_{t,i} + \epsilon}} \nabla_{\theta_i} J(\theta_t)$$

其中：

• $G_{t,i}$ 是关于参数 $\theta_i$ 的梯度平方和累积，到第 $t$ 次迭代时的值。
• $\nabla_{\theta_i} J(\theta_t)$ 是损失函数关于参数 $\theta_i$ 的梯度。
• $\eta$ 是全局学习率（初始学习率）。
• $\epsilon$ 是一个微小的常数（如 $10^{-8}$），用于防止除以零。

原理解析

• 自适应学习率：Adagrad 通过累积每个参数的梯度平方和 $G_{t,i}$ 来缩放学习率。对于那些经常出现大梯度的参数，梯度平方和会增大，从而使得学习率变小；对于那些梯度较小或较少更新的参数，学习率相对较大。这种自适应性有助于更有效地更新不同尺度的参数。
• 适合处理稀疏数据：在自然语言处理等稀疏特征的任务中，Adagrad 能够有效地调整学习率，提高训练效率。

Python 代码实现

import numpy as np

# 假设我们有一个需要优化的参数 theta
theta = np.zeros((n_parameters,))  # 参数向量
G = np.zeros_like(theta)           # 累积梯度平方和

# 超参数设置
eta = 0.01       # 初始学习率
epsilon = 1e-8   # 防止除以零的微小常数
num_iterations = 1000  # 迭代次数

for t in range(1, num_iterations + 1):
    grad = compute_gradient(theta)  # 计算当前梯度，需要根据具体问题定义

    # 累积梯度平方和
    G += grad ** 2

    # 更新参数
    adjusted_learning_rate = eta / (np.sqrt(G) + epsilon)
    theta = theta - adjusted_learning_rate * grad

在上述代码中：

• compute_gradient(theta) 是一个函数，用于计算当前参数 theta 下的梯度。
• G 是累积的梯度平方和，用于调整学习率。
• 学习率会根据每个参数的梯度历史进行缩放，实现自适应。

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Adadelta 算法

背景与动机

Adagrad 在训练过程中，学习率会不断地缩小，可能导致后期学习率过小，无法继续优化。Adadelta 是对 Adagrad 的改进版，通过限制累积梯度的窗口大小，解决了 Adagrad学习率不断衰减的问题。此外，Adadelta 还消除了对初始学习率 $\eta$ 的依赖。

数学公式

Adadelta 的参数更新规则：

1. 梯度的指数加权平均（EWA）：

$$E[g^2]_t = \rho E[g^2]_{t-1} + (1 - \rho) [\nabla_{\theta_t} J(\theta_t)]^2$$

2. 计算参数更新量的期望平方：

$$E[\Delta \theta^2]_t = \rho E[\Delta \theta^2]_{t-1} + (1 - \rho) [\Delta \theta_t]^2$$

3. 计算更新量：

$$\Delta \theta_t = - \frac{\sqrt{E[\Delta \theta^2]_{t-1} + \epsilon}}{\sqrt{E[g^2]_t + \epsilon}} \nabla_{\theta_t} J(\theta_t)$$

4. 更新参数：

$$\theta_{t+1} = \theta_t + \Delta \theta_t$$

其中：

• $E[g^2]_t$ 是梯度平方的指数加权平均。
• $E[\Delta \theta^2]_t$ 是参数更新量平方的指数加权平均。
• $\rho$ 是衰减系数，通常取值为 0.9。
• $\epsilon$ 是防止除以零的微小常数。

原理解析

• 消除全局学习率依赖：Adadelta 通过计算参数更新量的期望值，消除了对全局学习率 $\eta$ 的依赖，实现了真正的自适应学习率。
• 动态调整步长：通过梯度和参数更新量的历史信息，自适应地调整更新步长，避免学习率过大或过小的问题。

Python 代码实现

import numpy as np

# 参数初始化
theta = np.zeros((n_parameters,))
E_grad = np.zeros_like(theta)        # 梯度平方的指数加权平均
E_delta = np.zeros_like(theta)       # 参数更新量平方的指数加权平均

# 超参数设置
rho = 0.95
epsilon = 1e-6
num_iterations = 1000

for t in range(1, num_iterations + 1):
    grad = compute_gradient(theta)  # 计算梯度

    # 更新梯度平方的指数加权平均
    E_grad = rho * E_grad + (1 - rho) * grad ** 2

    # 计算参数更新量
    delta_theta = - (np.sqrt(E_delta + epsilon) / np.sqrt(E_grad + epsilon)) * grad

    # 更新参数
    theta = theta + delta_theta

    # 更新参数更新量平方的指数加权平均
    E_delta = rho * E_delta + (1 - rho) * delta_theta ** 2

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RMSProp 算法

背景与动机

RMSProp（Root Mean Square Propagation）是 Geoffrey Hinton 提出的，用于解决 Adagrad 学习率不断衰减的问题，与 Adadelta 类似。RMSProp 通过对累积梯度平方和进行指数加权平均，限制了累积历史数据的窗口大小，从而保持学习率的稳定。

数学公式

RMSProp 的参数更新规则：

1. 梯度平方的指数加权平均：

$$E[g^2]_t = \rho E[g^2]_{t-1} + (1 - \rho) [\nabla_{\theta_t} J(\theta_t)]^2$$

2. 更新参数：

$$\theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{E[g^2]_t + \epsilon}} \nabla_{\theta_t} J(\theta_t)$$

其中：

• $E[g^2]_t$ 是梯度平方的指数加权平均。
• $\eta$ 是全局学习率。
• $\rho$ 是衰减系数，通常取值为 0.9。
• $\epsilon$ 是防止除以零的微小常数。

原理解析

• 稳定学习率：RMSProp 对梯度平方进行指数加权平均，避免了 Adagrad 中累积梯度平方和无限增大的问题，保持了学习率的稳定性。
• 适用于非平稳目标：通过限制累积历史梯度的窗口大小，RMSProp 能够在非平稳目标中保持稳定的学习率。

Python 代码实现

import numpy as np

# 参数初始化
theta = np.zeros((n_parameters,))
E_grad = np.zeros_like(theta)  # 梯度平方的指数加权平均

# 超参数设置
eta = 0.001      # 学习率
rho = 0.9
epsilon = 1e-8
num_iterations = 1000

for t in range(1, num_iterations + 1):
    grad = compute_gradient(theta)  # 计算梯度

    # 更新梯度平方的指数加权平均
    E_grad = rho * E_grad + (1 - rho) * grad ** 2

    # 更新参数
    theta = theta - (eta / (np.sqrt(E_grad) + epsilon)) * grad

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优化算法的比较

算法	更新规则	特点
Adagrad	$\theta_{t+1} = \theta_t - \dfrac{\eta}{\sqrt{G_t + \epsilon}} \nabla_\theta J(\theta_t)$	自适应学习率，对稀疏数据效果好，但学习率不断衰减
Adadelta	$\theta_{t+1} = \theta_t + \Delta \theta_t$，其中 $\Delta \theta_t$ 的计算见上文	无需学习率参数，适应性强，解决了 Adagrad 的衰减问题
RMSProp	$\theta_{t+1} = \theta_t - \dfrac{\eta}{\sqrt{E[g^2]_t + \epsilon}} \nabla_\theta J(\theta_t)$	对梯度平方进行指数加权平均，稳定学习率，适用于非平稳目标

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参数的选择与注意事项

• 学习率 $\eta$：

  • 对于 Adagrad，$\eta$ 通常设置较小，如 0.01。
  • 对于 RMSProp，$\eta$ 通常设置为 0.001。
  • Adadelta 不需要指定全局学习率，这也是其优势之一。

• 衰减系数 $\rho$：

  • 通常取值为 0.9 到 0.95。
  • $\rho$ 越大，表示对过去梯度的记忆越长。

• $\epsilon$ 的选择：

  • 一般设置为 $e^{-6}$ 或 $e^{-8}$，用于防止除以零。

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总结

• Adagrad：通过累积梯度平方和来适应每个参数的学习率，适合处理稀疏数据。然而，由于累积量不断增大，学习率会持续衰减，可能导致后期训练停滞。
• Adadelta：对 Adagrad 的改进，通过使用梯度和参数更新量的指数加权平均，限制了累积窗口大小，避免了学习率过度衰减的问题，并且消除了对初始学习率的依赖。
• RMSProp：与 Adadelta 类似，使用梯度平方的指数加权平均来调整学习率，保持了学习率的稳定性，适用于处理非平稳目标。

如果结合动量优化器和 RMSProp 的优势，就可以得到目前深度学习训练的高效而强大的默认选择优化器：Adam优化器，具体可参考：

Adam优化器

在深度学习和机器学习的模型训练过程中，优化算法起着关键作用。 **Adam**（Adaptive Moment Estimation）优化器是目前最受欢迎和广泛使用的优化算法之一。它结合了`动量优化器`和 `RMSProp` 的优势，能够在训练过程中`自适应地调整学习率`，实现`高效`和`稳健`的梯度更新。 下面，我们将详细介绍 Adam 优化器的原理、数学公式，以及 Python 代码实现